Question

【题目】如图所示，以为顶点的六面体中，和均为等边三角形，，且平面平面，平面，是的中点，连接.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）27.

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连结，，根据正三角形的性质可得，，从而得平面，由面面垂直的性质得平面，可得从而， 四点共面平面，；（Ⅱ）连接，由是中点，由是中点可得，又，可证明平面平面，从而可得结果；（Ⅲ）先证明到平面的距离等于，求出，三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）取的中点，连结，.

和均为等边三角形，，，又，

平面. 平面平面，，

所以平面，

又因为平面，从而， 四点共面，　　　　　　

平面，

（Ⅱ）连接，由是中点可得，又，

，所以平面平面， 平面，平面；

（Ⅲ）平面平面，，所以平面，

又，到平面的距离等于，在等边和中，，，

，　　　　

所以三棱锥的体积.