Question

【题目】如图，三棱柱中，，，平面平面，与相交于点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）可利用推论“若两平面垂直，一个平面上的直线垂直于两平面交线，则直线垂直于另一个平面”证明线面垂直。

（2）以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角余弦值。

试题解析：

（1）证明：设的中点为，连.

∵，

∴四边形为菱形，且为正三角形，∴.

∵，∴.

而，

∴平面，∴.

∵四边形为菱形，则有，

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵，∴平面.

（2）

如图，∵，∴，

以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

∵，

∴.

从而，有，.

∴.

设面的法向量为，

则，

又面的法向量为，

设二面角的大小为，由图知为锐角，

则.