Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（1+x）=f（1-x）可得函数关于x=1对称，然后求实数a的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）方法1：
由f （1+x）=f （1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）+b=（1-x）²+a（1-x）+b，
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
方法2：
由f （1+x）=f （1-x）得，函数关于x=1对称，
则对称轴为-

a

2

=1，解得a=-2．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知 f （ x ）=x²-2x+b，
下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，
则f（x₁）-f（x₂）=（x12-2x1+b）-（x22-2x2+b）
=（x12-x22）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及利用定义法证明和判断函数的单调性，考查学生的推理判断能力．