题目内容


  已知:函数),
  (1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;
  (2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
  (3)对于函数定义域上的任意实数,若存在常数,使得不等式
     都成立,则称直线为函数的“分界线”。设
     ,试探究是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存
     在,请说明理由.

解:
  (1)因为,所以,令
     得:,此时
     则点到直线的距离为
     即,解之得. 
     经检验知,为增解不合题意,故
  (2)法一:不等式的解集中的整数恰有3个,
        等价于恰有三个整数解,故
        令,由
        所以函数的一个零点在区间
        则另一个零点一定在区间
        故解之得
     法二:恰有三个整数解,故,即
       
        所以,又因为
        所以,解之得
  (3)设,则
     所以当时,;当时,
     因此时,取得最小值
     则的图象在处有公共点.       
     设存在 “分界线”,方程为
     即
     由恒成立,则恒成立 .
     所以成立,因此
     下面证明恒成立.
     设,则
     所以当时,;当时,
     因此取得最大值,则成立.
     故所求“分界线”方程为:

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