题目内容
已知:函数(),.
(1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;
(2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
(3)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得不等式和
都成立,则称直线为函数与的“分界线”。设,
,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存
在,请说明理由.
解:
(1)因为,所以,令
得:,此时,
则点到直线的距离为,
即,解之得或.
经检验知,为增解不合题意,故
(2)法一:不等式的解集中的整数恰有3个,
等价于恰有三个整数解,故,
令,由且,
所以函数的一个零点在区间,
则另一个零点一定在区间,
故解之得.
法二:恰有三个整数解,故,即,
,
所以,又因为,
所以,解之得.
(3)设,则.
所以当时,;当时,.
因此时,取得最小值,
则与的图象在处有公共点.
设与存在 “分界线”,方程为,
即,
由在恒成立,则在恒成立 .
所以成立,因此.
下面证明恒成立.
设,则.
所以当时,;当时,.
因此时取得最大值,则成立.
故所求“分界线”方程为:.
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