题目内容
【题目】直角梯形ABCD如图(1)所示,其中,
,过点B作
,垂足为M,得到面积为4的正方形ABMD,现沿BM进行翻折,得到如图(2)所示的四棱柱C-ABMD.
(1)求证:平面平面CDM;
(2)若,平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为
,求CM的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据翻折的性质可知,
,即可得到
平面
,从而得证;
(2)以为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量法表示出二面角的余弦,从而解方程即可.
解:(1)在图(1)中,因为,
,
所以翻折后,在图(2)中有,,
.
又,
平面
,
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
故平面⊥平面
.
(2)因为,
,
,
平面
,
平面
,
所以平面
,
又,以
为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,D(2,0,0),C(0,0,a),A(2,2,0),则
,
.
设平面CAD的法向量为,由
,
取,
,
,即
,取平面
的法向量为
,
,即
,解得
,即
.
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