题目内容
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上以点P(1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上最大值.
分析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数,利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=-2时有极值即可列出关于a,b,c的方程,求得a,b,c的值,从而得到f (x)的表达式.
(2)先求函数的导数f'(x),通过f'(x)>0,及f'(x)<0,得出函数的单调性,进一步得出函数的极值即可.
(2)先求函数的导数f'(x),通过f'(x)>0,及f'(x)<0,得出函数的单调性,进一步得出函数的极值即可.
解答:解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f'(x)=3x2+2ax+b
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y-f(1)=f'(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)
故
即
∵有y=f(x)在x=-2时有极值,故f′(-2)=0
∴-4a+b=-12…(3)
由(1)(2)(3)相联立解得a=2,b=-4,c=5
f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f'(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)
f(x)极大=f(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13f(1)=13+2×1-4×1+5=4
∴f(x)在[-3,1]上最大值为13.
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y-f(1)=f'(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)
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∵有y=f(x)在x=-2时有极值,故f′(-2)=0
∴-4a+b=-12…(3)
由(1)(2)(3)相联立解得a=2,b=-4,c=5
f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f'(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)

f(x)极大=f(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13f(1)=13+2×1-4×1+5=4
∴f(x)在[-3,1]上最大值为13.
点评:本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识,考查计算能力,属于基础题.

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