Question

已知函数f（x）=λx²+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）当λ=-1时，求函数g（x）的最大值；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）设函数φ(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0.

若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：①令g′（x）=0求出根，判断两边的符号，求出最值
②导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间一定在定义域内
③不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论

解答：解：（1）当λ=-1时，g（x）=lnx-x，（x＞0）
∴g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，(x＞0)
令g′（x）=0，则x=1，
∴g（x）=lnx-x在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（1）=-1
（2）h（x）=λx²+2λx+lnx，
h′(x)=2λx+2λ+

1

x

=

2λx2+2λx+1

x

，（x＞0）
∴当λ＞0时，h'（x）＞0，∴函数h（x）的增区间为（0，+∞），
当λ＜0时，h′(x)=

2λ(x- -λ- λ2-2λ 2λ )(x- -λ+ λ2-2λ 2λ )

x

，
当x＞

-λ- λ2-2λ

2λ

时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数；
当0＜x＜

-λ- λ2-2λ

2λ

时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数．
综上得，
当λ＞0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；
当λ＜0时，h（x）的增区间为(0，

-λ- λ2-2λ

2λ

)，
减区间为(

-λ- λ2-2λ

2λ

，+∞)（10分）
（3）当x＞0，φ′(x)=λ+

1

x

在（0，+∞）上是减函数，
此时φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；
当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ，
若λ＞0时，φ′（x）在（-∞，0）上是增函数，
此时φ′（x）的取值集合B=（-∞，λ）；
若λ＜0时，φ′（x）在（-∞，0）上是减函数，
此时φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．
对任意给定的非零实数x，
①当x＞0时，∵φ′（x）在（0，+∞）上是减函数，
则在（0，+∞）上不存在实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），
则t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零实数t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；
②当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ在（-∞，0）时是单调函数，
则t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零实数t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B⊆A，∴λ＜0．
综上得，实数λ的取值范围为（-∞，0）．

点评：本题考查导数研究函数的最值，单调性，值域，属于难题，在高考中常出现在解答题中最后两题．