Question

13．（1）已知函数f（x）=-x²+2x+3．若x∈[a，a+1]（a∈R），请问函数f（x）是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由．
（2）己知函数f（x）=-x²+ax+3．若x∈[2，4]（a∈R），请问函数f（x）是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴x=1，讨论[a，a+1]和对称轴的关系，结合单调性即可得到最值；
（2）求得对称轴x=$\frac{a}{2}$，讨论区间[2，4]与对称轴的关系，由单调性即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+2x+3的对称轴为x=1，
当a＞1时，区间[a，a+1]为减区间，
即有f（a）=-a²+2a+3，为最大值，
f（a+1）=4-a²，为最小值；
当a+1＜1即a＜0，区间[a，a+1]为增区间，
即有f（a）=-a²+2a+3，为最小值，
f（a+1）=4-a²，为最大值；
当a≤1≤a+1，即0≤a≤1时，f（1）=4为最大值，
f（x）的最小值为f（a）、f（a+1）中较小的一个．
（2）函数f（x）=-x²+ax+3的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$＜2即a＜4时，[2，4]为减区间，
即有f（2）=2a-1为最大值，f（4）=4a-13为最小值；
当$\frac{a}{2}$＞4即a＞8时，[2，4]为增区间，
即有f（2）=2a-1为最小值，f（4）=4a-13为最大值；
当2≤$\frac{a}{2}$≤4即4≤a≤8时，f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{{a}^{2}}{4}$为最大值，
最小值为f（2），f（4）中较小的一个．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，考查定区间和动轴，以及动区间和定轴的关系，属于中档题．