题目内容

已知向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若x∈(0，
π
3
]，求此时函数f（x）的值域．
分析：（1）由已知中向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，ω＞0，我们可根据平面向量的数量积公式，求出函数f（x）的解析式，进而根据其最小正周期为π，求出ω的值；
（2）由（1）中函数的解析式，结合x∈(0，
π
3
]，我们易根据正弦型函数的性质，求出函数f（x）的值域．
解答：解：（1）∵向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，
f（x）=
a
•
b
=
3
sinωx+cosωx=2sin（ωx+
π
6
）
∵f（x）的最小正周期为π
∴ω=2
（2）可求得f(x)=2sin(2x+
π
6
)，且此时x∈(0，
π
3
]，
所以f（x）∈[1，2]
点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，熟练掌握三角函数的性质，是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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