题目内容

已知两点A(-1,2)、B(m,3).
(1)求直线AB的斜率k与倾斜角α;
(2)求直线AB的方程;
(3)已知实数m∈[-
3
3
-1,
3
-1],求直线AB的倾斜角α的取值范围.
分析:(1)k=tanα=
3-2
m+1
=
1
m+1
,分m=-1、m<-1、m>-1 三种情况求倾斜角α.
(2)当m=-1时,直线的斜率不存在,写出直线的方程;当m≠-1时,由两点式求直线的方程.
(3)已知实数m∈[-
3
3
-1,
3
-1],利用不等式的性质求出斜率tanα的范围,再利用正切函数的单调性求出
倾斜角α的范围.
解答:解:(1)∵已知直线AB的斜率k与倾斜角α,∴k=tanα=
3-2
m+1
=
1
m+1

当m=-1时,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°.
当m<-1时,k<0,由α∈[0°,180° ),α=180°+arctan
1
m+1

当m>-1时,k>0,α=arctan
1
m+1

(2)当m=-1时,直线的斜率不存在,直线的方程为 x=-1,
当m≠-1时,由两点式求直线的方程 
y-2
3-2
=
x+1
m+1
,即 x-(m+1)y+2m+3=0.
(3)已知实数m∈[-
3
3
-1,
3
-1],∴-
3
3
≤m+1≤
3

①当m+1≠0时,
3
3
1
m+1
,或 
1
m+1
≤-
3

即 tan α≥
3
3
 或tan α≤-
3

∴90°>α≥30°,或  90°<α≤120°.
②当m=-1时,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°.
综上,α∈[30°,120°].
点评:本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,以及用两点式求直线的方程,体现了分类讨论的数学思想.
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