Question

【题目】已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1 ， S3 ， 3S2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an ， cn= ，记数列{cn}的前n项和为Tn ． 若对于任意的n∈N* ， Tn≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设{an}的公比为q．

∵5S1，S3，3S2成等差数列，∴2S3=5S1+3S2．

即 ，化简得2q2﹣q﹣6=0，

解得：q=2或 ．由已知，q=2．∴

（2）解：由bn=log2an得 ．

∴ ．

∴ ．

∴

∵ ，当且仅当 即n=2时等号成立，

∴ ．

∴实数λ的取值范围是

【解析】（1）由5S1 ， S3 ， 3S2成等差数列，利用性质建立方程，再用首项与公比将此方程转化为关于公比的等式，解出公比的值得出通项；（2）依次求出bn、cn ， 根据所得出的形式，裂项求和即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和等比数列的基本性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列．