Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为

 

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Answer 1

分析：首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x³-3ax（a∈R）的导函数，使直线与其不相交即可．

解答：解：f（x）=x³-3ax（a∈R），则f′（x）=3x²-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x²-3a与直线x+y+m=0没有交点，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当x=0时取最大值，-3a＞-1，
则a的取值范围为a＜

1

3

即答案为a＜

1

3

．

点评：此题考查了函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题．