题目内容

已知二次函数y=f(x)的图象与x轴相切于点(-1,0),其导函数y=f′(x)与直线y=2x平行.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)已知
lim
x→+∞
lnx
x
=0
,试讨论方程kf′(x)-lnf(x)=0(k∈R)在区间(-1,+∞)上解得个数.
分析:(1)先假设函数解析式,利用导函数y=f′(x)与直线y=2x平行,可求y=f(x)的解析式;
(2)方程kf′(x)-lnf(x)=0(k∈R)在区间(-1,+∞)上解,可转化为两曲线的交点个数,由此,可借助于函数的图象加以解决.
解答:解:(1)依题意可设y=f(x)=a(x+1)2(a≠0).
又导函数y=f′(x)与直线y=2x平行
∴a=1,
∴y=f(x)=(x+1)2…(4分)
(2)由(1)知:2k(x+1)-2ln(x+1)=0,令t=x+1>0(x>-1),∴k=
lnt
t

故原方程在(-1,+∞)上的解,即为直线y=k与曲线g(t)=
lnt
t
在(0,+∞)上的交点个数.…(7分)
g/(t)=
1-lnt
t

令g′(t)=0,∴t=e∈(0,+∞),
∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减
∴由图象可知,当k>
1
e
时,原方程没有解;
当0<k<
1
e
时,原方程有两解;
当k≤0时,原方程仅有一解;
当k=
1
e
时,原方程仅有一解.…(12分)
综上所述,当k≤0或k=
1
e
时,方程仅有一解;
当0<k<
1
e
时,方程有两解;
k>
1
e
时,方程没有解.…(13分)
点评:本题以二次函数为载体,考查解析式的求解,考查方程根的个数的研究,关键是合理转化.
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