题目内容
【题目】如图,在多面体中,正三角形
所在平面与菱形
所在的平面垂直,
平面
,且
.
(1)判断直线平面
的位置关系,并说明理由;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)过点作
于点
,连接
,通过计算可得
,可进一步得
,可得线面平行;(2)以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.利用二面角的法向量与半平面的法向量的关系求得二面角的余弦值.
试题解析:(1)直线与平面
平行,理由如下:
如图,过点作
于点
,连接
,因为在正三角形
中,
,所以
,
因为平面平面
平面
,平面
平面
.
(2)如图,连接,由(1)可得
为
的中点,又
,故
为等边三角形,
所以.
又平面
,故
两两垂直,以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
所以,
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,则
是平面
的一个法向量,
设平面的法向量为
,
则,即
,
取,得
是平面
的一个法向量.
所以,
由图可知二面角为钝角,故二面角
的余弦值是
.
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