题目内容
【题目】设函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，证明：函数
无零点；
（3）确定
的所有可能取值，使得
在区间
内恒成立.
（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“在区间内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.
【答案】（1）当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数在
上单调递减，
，
上单调递增；（2）证明见解析；（3）
；（4）见解析.
【解析】
（1）
，.
.
当时，
，
函数在上单调递减.
当时，由
，函数在上单调递减，，上单调递增.
综上可得：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，，上单调递增.
（2）证明：当
时，要证明：函数
无零点.即可证明：
，即证明
.
令
，
.
，
函数
在上单调递增，
（1）
.
当时，，因此当时，函数无零点.
（3）解：
化为：
.
令
，.可得.
（1）
，
在恒成立.
令
，
，
当
时，
.
令
，
.
函数
在
，
上单调递增.
的最小值为
（1）
.
.
时，.
综上可得：时，.
在上单调递增.
（1）
，即
在上单调递增.
，解得.
（4）变化①：时，证明在区间
内恒成立.
变化②：在区间内恒成立，求实数
的取值范围.
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