题目内容

是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

，证明见解析


解析:

假设存在，使得所给等式成立．

令代入等式得解得

以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．

（1）当时，由以上可知等式成立；

（2）假设当时，等式成立，即，

则当时，

．

由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．

练习册系列答案
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已知正项数列{an}的前n和为Sn，且
Sn
是
1
4
与（an+1）2的等比中项．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=
an
2n
，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{
Tn+λ
an+2
}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．
对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式
f(x1)+f(x2)2
=M，则称M为函数y=f （x）的“均值”．
（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
（2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

（14分）若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列.已知等方差数列满足成等比数列且互不相等.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

    （Ⅲ）是否存在实数，使得对一切正整数，总有成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.
已知正项数列{an}的前n和为Sn，且
Sn
是
1
4
与（an+1）2的等比中项．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=
an
2n
，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{
Tn+λ
an+2
}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．
已知正项数列{an}的前n和为Sn，且是与（an+1）2的等比中项．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

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