Question

已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{

Tn+λ

an+2

}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得sn=

1

4

(an+1) 2，利用an=

sn-sn-1，n≥2 s1，n=1

可把已知条件转化为a_n-a_n-1=2，从而可证．
（2）由（1）代入可得bn=

2n-1

2n

，用“乘公比错位相减”求数列的和．
（3）假设存在常数λ，使得数列为等比数列?

Tn+λ

an+2

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

，结合等比的通项公式可得

λ+3

2n+3

=0，从而可求λ．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，∴a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1（a_n＞0）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

，①
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=    

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n-3

2n

（9'）
（3）∵

Tn+λ

an+2

=(3-

2n+3

2n

+λ)

1

2n+3

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

易知，当λ=-3时，数列{

Tn+λ

an+2

}为等比数列．（13'）

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式及利用定义证明数列为等差数列，还考查了等比数列的通项公式，错位相减求数列的和等知识的综合，属于对基本知识、基本方法的简单运用的考查．