题目内容

已知椭圆的左右焦点为,抛物线C:以F2为焦点且与椭圆相交于点,点轴上方,直线与抛物线相切.
(1)求抛物线的方程和点的坐标;
(2)设A,B是抛物线C上两动点,如果直线轴分别交于点. 是以,为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.

(1)M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2)。
(2)为定值

解析试题分析:解:(1)由椭圆方程得半焦距          1分
所以椭圆焦点为                      
又抛物线C的焦点为     3分
在抛物线C上,
,直线的方程为          4分
代入抛物线C得
                         5分
与抛物线C相切,
,             6分
      ∴ M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2)。    7分
(2)直线AB的斜率为定值­—1.
证明如下:设AB在抛物线上,
由①-③得,
由②-③得, 10分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以  10分
 化简整理,

得:
为定值   14分
解法二:设    6分
    8分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以    10分

所以                     
所以,由    12分
所以,
所以,直线AB的斜率为定值,这个定值为  14分
考点:直线与抛物线的位置关系
点评:主要是考查了抛物线方程的方程的求解以及直线与抛物线的位置关系的运用,属于中档题。

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