题目内容
已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求使
+
-2的值为整数的实数k的整数值．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求使
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
分析：（1）利用方程有两个实数根，可得判别式大于大于0，即可求得实数k的取值范围；
（2）利用韦达定理计算
+
-2，进而转化为k+1能整除4，即可求得结论．
（2）利用韦达定理计算
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
解答：解：（1）∵一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根，
∴k≠0，且△=16k2-16k（k+1）=-16k≥0，
∴k＜0．------------（3分）
（2）∵
+
-2=
-2=
-2=
-4
=
-4=
=-
，------------------（7分）
∴要使
+
-2的值为整数，只须k+1能整除4．
而k为整数，∴k+1只能取±1，±2，±4．
又∵k＜0，∴k+1＜1，
∴k+1只能取-1，-2，-4，
∴k=-2，-3，-5．----------------（10分）
∴k≠0，且△=16k2-16k（k+1）=-16k≥0，
∴k＜0．------------（3分）
（2）∵
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| x12+x22 |
| x1x2 |
| (x1+x2)2-2x1x2 |
| x1x2 |
| (x1+x2)2 |
| x1x2 |
=
| 4k |
| k+1 |
| 4k-4(k+1) |
| k+1 |
| 4 |
| k+1 |
∴要使
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
而k为整数，∴k+1只能取±1，±2，±4．
又∵k＜0，∴k+1＜1，
∴k+1只能取-1，-2，-4，
∴k=-2，-3，-5．----------------（10分）
点评：本题考查韦达定理的运用，考查整除性，考查学生的计算能力，属于中档题．
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