Question

设A、B是双曲线x²-=1的上两点，点N（1，2）是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

1、直线AB的方程为y=x+1

2、A、B、C、D四点共圆.

解析:

（1）依题意，可设直线AB的方程为y=k(x-1)+2，代入x²-=1,整理得（2-k²）x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2=0①.记A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁,x₂是方程①的两个不同的根，所以2-k²≠0,且x₁+x₂=.由N（1，2）是AB的中点得（x₁+x₂）=1,∴k(2-k)=2-k²,解得k=1,所以直线AB的方程为y=x+1

.(2)将k=1代入方程①得x²-2x-3=0.解出x₁=-1,x₂=3.由y=x+1得y₁=0,y₂=4.即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）.由CD的垂直平分AB，得直线CD的方程为y=-(x-1)+2，即y=3-x，代入双曲线方程，整理得x²+6x-11=0.②记C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄),以及CD的中点为M（x₀,y₀），则x₃,x₄是方程②的两根，所以x₃+x₄=-6,x₃x₄=-11.从而x₀=(x₃+x₄)=-3,y₀=3-x₀=6.|CD|====4.∴|MC|=|MD|=|CD|=2.又∵|MA|=|MB|===2.即A、B、C、D四点到M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.