Question

设A、B是双曲线x2-

y2

2

=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程
（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，代入双曲线方程，化简可得
（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①，由根与系数的关系，可得x1+x2=

2k(2-k)

2-k2

，而已知N（1，2）是AB的中点得

1

2

(x1+x2)=1，联立可得k的值，即可得直线的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得k的值，计算可得A、B的坐标，由CD垂直平分AB，可得直线CD的方程，代入双曲线方程，整理得x²+6x-11=0；记C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中点为M（x₀，y₀），则x₃，x₄是方程②的两个根；计算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四点共圆．

解答：解：（I）依题意，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，
代入x²-

y2

2

=1，整理得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①
x₁，x₂则是方程①的两个不同的根，
所以2-k²≠0，且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，
由N（1，2）是AB的中点得

1

2

(x1+x2)=1，
∴k（2-k）=2-k²，
解得k=1，
所以直线AB的方程为y=x+1

（II）将k=1代入方程①得x²-2x-3=0
解出x₁=-1，x₂=3
由y=x+1得y₁=0，y₂=4．
即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）．
由CD垂直平分AB，
得直线CD的方程为y=-（x-1）+2，
即y=3-x．
代入双曲线方程，整理得x²+6x-11=0．②
记C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中点为M（x₀，y₀），
则x₃，x₄是方程②的两个根．所以x₃+x₄=-6，x₃x₄=-11．
从而x₀=

1

2

(x3+x4)=-3，y₀=3-x₀=6；
|CD|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

2(x3-x4)2

=

2[(x3+x4)2-4x3x4]

=4

10

∴|MC|=|MD|=

1

2

|CD|=2

10

又|MA|=|MB|=

(x0-x1)2+(y0-y1)2

=

4+36

=2

10

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．

点评：本题考查直线与双曲线的综合运用，注意解析几何证明四点共圆问题时，一般转化为四点或多点到定点的距离相等，即点与点之间的距离来求解．