Question

设A、B是双曲线x²–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

（1）AB∶y=x+1（2）A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆. 

解析:

(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x²–=1.

整理得（2–k²）x²–2k(2–k)x–(2–k)²–2=0       ①

设A(x₁,y₁)、B（x₂,y₂),x₁,x₂为方程①的两根

所以2–k²≠0且x₁+x₂=. 又N为AB中点，

有（x₁+x₂）=1.∴k(2–k)=2–k²,解得k=1. 故AB∶y=x+1.

(2)解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程为y=3–x  与双曲线方程联立.消y有x²+6x–11=0           ②

记C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)及CD中点M(x₀,y₀)由韦达定理可得x₀=–3,y₀=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=. 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.