题目内容
已知函数
f(x)=x2+(a+1)x+2ln(x-1).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若对于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)<-2,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)由
f′(x)=ax+a+1+,得切线斜率为k=f'(2)=2a+3,据题设,k=2,所以
a=-,故有
f(2)=,由此能求出切线方程.
(Ⅱ)由
f′(x)=ax+a+1+==(x>1),知当a=0时,
f′(x)=,由于x>1,所以
f′(x)=>0,由此能够讨论函数f(x)的单调区间.
(Ⅲ)当a≥0时,考查f(2)=4a+2≥2>0,不合题意,舍;当a<0时,由(Ⅱ)知
f(x)max=f()=-2ln(-a).故只需
-2ln(-a)<-2,即
3a+2-<4ln(-a).由此能求出实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)
f′(x)=ax+a+1+,
得切线斜率为k=f'(2)=3a+3,(2分)
据题设,k=2,所以
a=-,故有
f(2)=,(3分)
所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),
即6x-3y-10=0,(4分)
(Ⅱ)
f′(x)=ax+a+1+==(x>1)当a=0时,
f′(x)=,
由于x>1,所以
f′(x)=>0,
可知函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,(6分)
当a≠0时,
f′(x)=,
若a>0,则
<1,
可知当x>1时,有f'(x)>0,
函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,(8分)
若a<0,则
>1,
得当
x∈(1,)时,f'(x)>0;
当
x∈(,+∞)时,f'(x)<0.
所以,函数f(x)在区间
(1,)上单调递增,
在区间
(,+∞)上单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间是定义区间(1,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调增区间为
(1,),减区间为
(,+∞),(10分)
(Ⅲ)当a≥0时,考查f(2)=4a+2≥2>0,不合题意,舍;
当a<0时,由(Ⅱ)知
f(x)max=f()=-2ln(-a).
故只需
-2ln(-a)<-2,即
3a+2-<4ln(-a).(11分)
令t=-a,则不等式为
-3t+2+<4lnt,且t>0.
构造函数
g(t)=4lnt+3t-2-(t>0),
则
g′(t)=+3+>0,
知函数g(t)在区间(0,+∞)上单调递增.
因为g(1)=4ln1+3-2-1=0,所以当t>1时,g(1)>0,
这说明不等式
-3t+2+<4lnt(t>0)的解为t>1,即得a<-1.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-1).(14分)
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
相关题目