Question

已知：二次函数f（x）=ax²+bx+c满足：①对于任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，f(x)≤

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8

(x+2)2恒成立，②f（-2）=0
（1）求证：f（2）=2
（2）求f（x）的解析式．
（3）若g（x）=x+m，对于任意x∈[-2，2]，存在x₀∈[-2，2]，使得f（x）=g（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，f(x)≤

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(x+2)2恒成立，将x=2代入即可求出f（2）的值即可；
（2）根据f（-2）=0，f（2）=2将b和c用a进行表示，代入解析式根据①可知ax2-

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2

x+1-4a≥0对于任意实数x都成立，建立不等关系可求出a、b、c的值；
（3）设函数y=f（x）、y=g（x）在区间[-2，2]上的值域分别为A、B，根据A⊆B建立不等关系，解之即可．

解答：解：（1）由①知道f(2)≥2且f(2)≤

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8

(2+2)2=2，
∴f（2）=2（4分）
（2）∵f(2)=4a+2b+c=2，f(-2)=4a-2b+c=0∴b=

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2

，c=1-4a(5分)
∴f(x)=ax2+

1

2

x+1-4a
∴f(x)≥x等价于ax2-

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2

x+1-4a≥0
∴ax2-

1

2

x+1-4a≥0对于任意实数x都成立
又因为a≠0∴

a＞0 △= 1 4 -4a(1-4a)≤0

（7分）
∴a=

1

8

，c=

1

2

（8分）
此时f(x)=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

=

1

8

(x+2)2，x∈(1，3)时f(x)≤

1

8

(x+2)2成立
∴f(x)=

1

8

(x+2)2（10分）
（3）设函数y=f（x）、y=g（x）在区间[-2，2]上的值域分别为A、B
则A=[0，2]，B=[m-2，m+2]（11分）
由题意得A⊆B（12分）∴

m-2≤0 m+2≥2

（14分）
∴0≤m≤2（16分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数解析式的求解及待定系数法，属于中档题．