Question

已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax²+1有一个正的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先设出二次函数的一般表达式，再根据已知条件代入进行求解；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1有一个正的零点，可得g（x）=0将问题转化为（1-a）x²-x+2=0有一个正根，对1-a与0的关系进行讨论，从而求解；

解答：解：（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，
g（x）=0有一个正的零点?（1-a）x²-x+2=0有一个正根，
①当1-a=0即a=1，得x=2，符合题意；
②1-a≠0即a≠1时，△=1-8（1-a）=8a-7，
当8a-7=0，即a=

7

8

时，方程有等根x=4，符合题意，
当a＞

7

8

时，△＞0，只需两根x1x2＜0，即

2

1-a

＜0，
∴a＞1，
综上a的取值范围为[1，+∞）∪{

7

8

}；

点评：此题主要考查函数的零点问题，以及函数的解析式的求法，是一道基础题；