Question

已知函数f（x）=ax³+bx²﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3ax²+2bx﹣3．
根据题意，得 
即 
解得 
所以f（x）=x³﹣3x．
（2）令f'（x）=0，即3x²﹣3=0．得x=±1．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈（﹣1，1）时，f′（x）<0，函数f（x）在此区间单调递减；
因为f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，
所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=﹣2．
则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f（x）_max﹣f（x）_min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值为4．
（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
所以可设切点为（x₀，y₀）．则
y₀=x₀³﹣3x₀．
因为f'（x₀）=3x₀²﹣3，所以切线的斜率为3x₀²﹣3．
则3x₀²﹣3= ，
即2x₀³﹣6x₀²+6+m=0．
因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x₀³﹣6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解．
所以函数g（x）=2x³﹣6x²+6+m有三个不同的零点．
则g'（x）=6x²﹣12x．
令g'（x）=0，则x=0或x=2．
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；
当x∈（0，2）时，g′（x）<0，函数g（x）在此区间单调递增；
所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，
有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：  ，
即 ，
解得﹣6＜m＜2．