题目内容

已知x、y满足约束条件
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3

(Ⅰ)求n=2x+y的最大值与最小值;
(Ⅱ)求w=
y
x+4
的最大值与最小值;
(Ⅲ)求z=(x+2)2+(y+2)2的最小值.
分析:(I)作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移,观察y轴上的截距变化,即可得到n=2x+y的最大值与最小值;
(II)w=
y
x+4
表示Q(-4,0)、P(x,y)连线的斜率,观察图形并利用斜率与倾斜角的关系求出PQ斜率的最值,即可得到w的最大值与最小值;
(III)设M(-2,-2),P(x,y)为区域内的动点,可得|MP|2=(x+2)2+(y+2)2,表示M、P两点距离的平方之值.运动点P并加以观察可得|MP|的最小值,即可得到z=(x+2)2+(y+2)2的最小值.
解答:解:作出不等式组
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3
表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,
其中A(-2.5,2.5),B(3,-3),C(3,8),
(I)设n=F(x,y)=2x+y,将直线l:n=2x+y进行平移,
观察y轴上的截距变化,可得:
当l经过点A时,目标函数n达到最小值;
当l经过点C时,目标函数n达到最大值.
∴n最小值=F(-2.5,2.5)=-2.5;
n最大值=F(3,8)=14.
(II)设Q(-4,0),P(x,y)为区域内的动点,
可得w=
y
x+4
表示直线PQ的斜率,运动点P可得:
当P与B点重合时,kPQ=
-3
3+4
=-
3
7
为最小值;当P与A重合时,kPQ=
2.5
-2.5+4
=
5
3
为最大值.
w=
y
x+4
的最大值为
5
3
,最小值为-
3
7

(III)设P(x,y)为区域内一个动点,M(-2,-2),
则|MP|2=(x+2)2+(y+2)2,表示M、P两点距离的平方之值.
当P与M在AB上的射影重合时,|MP|=
|-2-2|
2
=2
2
达到最小值,
可得|OP|2的最小值为(2
2
2=8,
∴z=(x+2)2+(y+2)2的最小值为8.
点评:本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式、两点间的距离公式与点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识,属于中档题.
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