题目内容
【题目】已知椭圆:
的长轴长为4,左、右顶点分别为
,经过点
的动直线与椭圆
相交于不同的两点
(不与点
重合).
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)求四边形面积的最大值;
(3)若直线与直线
相交于点
,判断点
是否位于一条定直线上?若是,写出该直线的方程. (结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ) ,离心率
(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)由题意可知:m=1,可得椭圆方程,根据离心率公式即可求出
(Ⅱ)设直线CD的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理,由SACBD=S△ACB+S△ADB,换元,根据函数的单调性即可求得四边形ACBD面积的最大值.
(Ⅲ)点M在一条定直线上,且该直线的方程为x=4
(Ⅰ)由题意,得 , 解得
.
所以椭圆方程为
.
故,
,
.
所以椭圆的离心率
.
(Ⅱ)当直线的斜率
不存在时,由题意,得
的方程为
,
代入椭圆的方程,得
,
,
又因为,
,
所以四边形的面积
.
当直线的斜率
存在时,设
的方程为
,
,
,
联立方程 消去
,得
.
由题意,可知恒成立,则
,
四边形的面积
,
设,则四边形
的面积
,
,
所以.
综上,四边形面积的最大值为
.
(Ⅲ)结论:点在一条定直线上,且该直线的方程为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测,每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在
之外的药品件数,求
(精确到0.001)及
的数学期望;
(2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成分含量在
之外的药品,则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量:
10.02 | 9.78 | 10.04 | 9.92 | 10.14 | 10.04 | 9.22 | 10.13 | 9.91 | 9.95 |
10.09 | 9.96 | 9.88 | 10.01 | 9.98 | 9.95 | 10.05 | 10.05 | 9.96 | 10.12 |
经计算得,
.其中
为抽取的第
件药品的主要药理成分含量,
.用样本平均数
作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附:若随机变量Z服从正态分布,则
,
.