Question

有以下真命题：设an1，an2，…，anm是公差为d的等差数列{a_n}中的任意m个项，若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，则有

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d②，特别地，当r=0时，称a_p为an1，an2，…，anm的等差平均项．
（1）当m=2，r=0时，试写出与上述命题中的（1），（2）两式相对应的等式；
（2）已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，试根据上述命题求a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均项；
（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题．

Answer 1

分析：（1）当m=2，r=0时，

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

，可化为

n1+n2

2

=p，

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d可化为

an1+an2

2

=ap；
（2）由等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的值，代入公式可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均项；
（3）根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律，可以类比推断出设an1，an2，…，anm是公比为q的等比数列{a_n}中的任意m个项，若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，则有 m

an1an2…anm

=apq

r

m

②，特别地，当r=0时，称a_p为an1，an2，…，anm的等比平均项．

解答：解：（1）∵若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
则有

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d②，
又∵当m=2，r=0时，

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

，可化为

n1+n2

2

=p，

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d可化为

an1+an2

2

=ap；
故原命题可化为：若

n1+n2

2

=p，则

an1+an2

2

=ap．
（2）∵a_n=2n，
∴a₁=2，a₃=6，a₁₀=20，a₁₈=36．
∵

1+3+10+18

4

=8，
∴

a1+a3+a10+a18

4

=a8=16．
（3）由设an1，an2，…，anm是公差为d的等差数列{a_n}中的任意m个项，
若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
则有

an1+an2+…+anm

m

=ap+

r

m

d②，
特别地，当r=0时，称a_p为an1，an2，…，anm的等差平均项．
根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律，可以类比推断出以下真命题：
设an1，an2，…，anm是公比为q的等比数列{a_n}中的任意m个项，
若

n1+n2+…+nm

m

=p+

r

m

（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，
则有 m

an1an2…anm

=apq

r

m

②，
特别地，当r=0时，称a_p为an1，an2，…，anm的等比平均项．

点评：本题考查的知识点是类比推理，等差数列的性质，其中正确理解新定义等差平均项的含义，及等差数列到等比数列的类比法则是解答本题的关键．