题目内容
有以下真命题:设,,…,是公差为d的等差数列{an}中的任意m个项,若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0)①,则有②,特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等差平均项.(1)当m=2,r=0时,试写出与上述命题中的(1),(2)两式相对应的等式;
(2)已知等差数列{an}的通项公式为an=2n,试根据上述命题求a1,a3,a10,a18的等差平均项;
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中,写出相应的真命题.
【答案】分析:(1)当m=2,r=0时,,可化为,可化为;
(2)由等差数列{an}的通项公式为an=2n,可得a1,a3,a10,a18的值,代入公式可得a1,a3,a10,a18的等差平均项;
(3)根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律,可以类比推断出设,,…,是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项,若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0①,则有 ②,特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等比平均项.
解答:解:(1)∵若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0)①,
则有②,
又∵当m=2,r=0时,
,可化为,
可化为;
故原命题可化为:若,则.
(2)∵an=2n,
∴a1=2,a3=6,a10=20,a18=36.
∵,
∴.
(3)由设,,…,是公差为d的等差数列{an}中的任意m个项,
若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0)①,
则有②,
特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等差平均项.
根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律,可以类比推断出以下真命题:
设,,…,是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项,
若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0①,
则有 ②,
特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等比平均项.
点评:本题考查的知识点是类比推理,等差数列的性质,其中正确理解新定义等差平均项的含义,及等差数列到等比数列的类比法则是解答本题的关键.
(2)由等差数列{an}的通项公式为an=2n,可得a1,a3,a10,a18的值,代入公式可得a1,a3,a10,a18的等差平均项;
(3)根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律,可以类比推断出设,,…,是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项,若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0①,则有 ②,特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等比平均项.
解答:解:(1)∵若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0)①,
则有②,
又∵当m=2,r=0时,
,可化为,
可化为;
故原命题可化为:若,则.
(2)∵an=2n,
∴a1=2,a3=6,a10=20,a18=36.
∵,
∴.
(3)由设,,…,是公差为d的等差数列{an}中的任意m个项,
若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0)①,
则有②,
特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等差平均项.
根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律,可以类比推断出以下真命题:
设,,…,是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项,
若(0≤r<m,p、r、m∈N或r=0①,
则有 ②,
特别地,当r=0时,称ap为,,…,的等比平均项.
点评:本题考查的知识点是类比推理,等差数列的性质,其中正确理解新定义等差平均项的含义,及等差数列到等比数列的类比法则是解答本题的关键.
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