Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线l：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．

（Ⅰ）求曲线C被直线l截得的弦长；

（Ⅱ）与直线l垂直的直线EF与曲线C相切于点Q，求点Q的直角坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）首先把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．

（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系求出切点的直角坐标．

解：（Ⅰ）曲线转换为直角坐标方程为．

直线l：，转换为，

所以圆心到直线的距离，

所以曲线C被直线l截得的弦长为．

（Ⅱ）与直线l垂直的直线设为：，

由于直线EF与曲线C相切，

所以圆心到直线的距离，

解得或，

所以直线EF的方程为或．

所以设切点，

故解得，

或，解得，

即切点坐标为或．