Question

已知不等式

ax-2

x+1

＞0(a∈R)．
（1）若x=-a时不等式成立，求a的取值范围；
（2）解已知中关于x的不等式．

Answer 1

分析：（1）把x=a代入原不等式，得到关于a的不等式，根据两数相除，同号得正的取符号法则，由a²+2恒大于0，得到a-1也大于0，求出a的范围即可；
（2）分三种情况考虑：当a=0时，把a=0代入原不等式，根据两数相除，异号得负的取符号法则可得x+1小于0，即可求出此时x的范围；当a大于0时，根据两数相除的取符号法则得到ax-2与x+1同号，转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集得到原不等式的解集；当a小于0时，在不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，转化为两个不等式组，分两种情况：-2＜a＜0和a＜-2，根据

2

a

与-1的大小，写出不等式组的解集，进而得到原不等式的解集．

解答：解：（1）把x=-a代入原不等式得：

-a2-2

-a+1

＞0，即

a2+2

a-1

＞0，
∵a²+2＞0，∴a-1＞0，
解得a＞1，
则a的取值范围是a＞1；
（2）当a=0时，原不等式化为

2

x+1

＜0，解得x＜-1；
当a＞0，原不等式化为

ax-2＞0 x+1＞0

或

ax-2＜0 x+1＜0

，
解得x＞

2

a

或x＜-1；
当a＜0时，原不等式变形得：

-ax+2

x+1

＜0，
可化为

-ax+2＞0 x+1＜0

或

-ax+2＜0 x+1＞0

，
若

2

a

＜-1，即-2＜a＜0时，解得：

2

a

＜x＜-1；
若

2

a

＞-1，即a＜-2时，解得：-1＜x＜

2

a

；
则原不等式的解集为：当a=0时，解集为（-∞，-1）；
当a＞0时，解集为（-∞，-1）∪（

2

a

，+∞）；
当-2＜a＜0时，解集为（

2

a

，-1）；
当a=-2时，解集为空集；
当a＜-2时，解集为（-1，

2

a

）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．