Question

4．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a∈R），在x=1时取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=-$\frac{3}{2}$x+b在区间[1，3]上有两个不等实数根，求实数b取值范围．
（Ⅲ）若函数h（x）=f（x）-x²，利用h（x）的图象性质，证明：3（1²+2²+…+n²）＞ln（1²•2²•…•n²）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=0，求得a=0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=-$\frac{3}{2}$x+b在区间[1，3]上有两个不等实数根，即为b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x在区间[1，3]上有两个不等实数根．令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，求出导数，求得极值和最值，结合图象即可得到b的范围；
（Ⅲ）求出h（x）的导数，求得单调区间，由h（x）在x＞1递减，结合对数的运算性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-x-a，
由在x=1时取得极值，则f′（1）=0，即1-1-a=0，解得a=0，
即有f（x）=lnx-$\frac{1}{2}{x^2}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-x，（x＞0），
令f′（x）＞0可得0＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＞1，
则f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）若方程f（x）=-$\frac{3}{2}$x+b在区间[1，3]上有两个不等实数根，
即为b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x在区间[1，3]上有两个不等实数根．
令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{3}{2}$=$\frac{-2（x+\frac{1}{2}）（x-2）}{2x}$，
当1≤x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=2处g（x）取得极大值，也为最大值，且为ln2+1，
x=1时，g（x）=1，x=3时，g（x）=ln3．
则当ln3≤b＜ln2+1时，方程在区间[1，3]上有两个不等实数根；
（Ⅲ）证明：函数h（x）=f（x）-x²=lnx-$\frac{3}{2}$x²，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-3x=$\frac{1-3{x}^{2}}{x}$，（x＞0），
当0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x≥1时，h（x）递减，
即h（x）≤h（1）=ln1-$\frac{3}{2}$＜0，
则lnx＜$\frac{3}{2}$x²，
即为3x²＞lnx²．
则有ln1²＜3•1²，ln2²＜3•2²，ln3²＜3•3²，…，lnn²＜3•n²．
则ln1²+ln2²+…+lnn²＜3（1²+2²+…+n²），
故有3（1²+2²+…+n²）＞ln（1²•2²•…•n²）（n∈N^*）．

点评 本题考查导数的运用：求函数的单调区间和极值、最值，同时考查函数方程的转化思想，以及函数的单调性的运用：证明不等式，属于中档题．