题目内容
己知椭圆的焦点在x轴上，它的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为| 5 |
2
| ||
| 5 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF1上的一个动点，且（
| MA |
| MB |
| AB |
分析：（1）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得
=
，求出c值，由离心率可得 a，求出b值，即得椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入（
+
）•
=0，解得 m=-
=-
，再利用不等式的性质求出m的取值范围．
| c2+1 |
| 5 |
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入（
| MA |
| MB |
| AB |
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
解答：解：（1）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得
=
，
∴c=2，∴再由离心率可得 a=
，b=1，故椭圆的标准方程为
+y2=1．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得 （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴（
+
）=（x1-m，y1）+（x2-m，y2 ）=（x1+x2-2m，y1+y2 ）．
由（
+
）⊥
，可得 （
+
）•
=（x1+x2-2m，y1+y2 ）•（x2-x1，y2-y1）
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化简可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
，
∴m=-
=-
．∵k2＞0，∴0＜
＜
，
∴-
＜m＜0． 故m的取值范围是[-
，0）．
| c2+1 |
| 5 |
∴c=2，∴再由离心率可得 a=
| 5 |
| x2 |
| 5 |
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得 （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
| -20k2 |
| 1+5k2 |
| -5 |
| 1+5k2 |
∴（
| MA |
| MB |
由（
| MA |
| MB |
| AB |
| MA |
| MB |
| AB |
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化简可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
| 20k2(k2+ 1) |
| 1+5k2 |
∴m=-
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
| 8 | ||
|
| 8 |
| 5 |
∴-
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
点评：本题考查求椭圆的标准方程，两个向量的数量积公式，不等式的性质，求出m=-
=-
，是解题的关键，
属于中档题．
| 8k2 |
| 1+5k2 |
| 8 | ||
|
属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列5个命题：
，离心率e=
，过椭圆的左焦点厂做一条与坐标轴不垂直的直线L交椭圆于A，B两点．
+
）⊥
，求m的取值范围．
的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
,P为椭圆上一动点，
、
分别为椭圆的左、右焦点，且
面积的最大值为
. 
成等差数列，求动点M的轨迹
的方程；
交
．