题目内容

己知椭圆的焦点在x轴上，它的一个焦点与抛物线x²=4y的焦点之间的距离为 $数学公式$ ，离心率e= $数学公式$ ，过椭圆的左焦点厂做一条与坐标轴不垂直的直线L交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF₁上的一个动点，且（ $数学公式$ + $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ，求m的取值范围．

解：（1）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴c=2，∴再由离心率可得 a= $\text{[math]}$ ，b=1，故椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ =1．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得（1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，可得（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化简可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²- $\text{[math]}$ ，
∴m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．∵k²＞0，∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜m＜0．故m的取值范围是[- $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出c值，由离心率可得 a，求出b值，即得椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，解得 m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，再利用不等式的性质求出m的取值范围．
点评：本题考查求椭圆的标准方程，两个向量的数量积公式，不等式的性质，求出m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，是解题的关键，
属于中档题．