题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）画出函数f（x）的大致图象，并指出函数的单调区间．

（1）令 $\text{[math]}$ ，反解x得 $\text{[math]}$ ，即f（x）的反函数为 $\text{[math]}$ ．
∵函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称，
∴ $\text{[math]}$ ≡ $\text{[math]}$ ，解得 b=-1．
（2）∵ $\text{[math]}$ 的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
∴ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即（x-1）（y-1）=1，
表明其图象是反比例函数型的双曲线，因此，其大致图象如右图所示：
函数的单调减区间是（-∞，1）和（1，+∞）．
分析：（1）易求f（x）的反函数f^-1（x），由函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称可得f（x）≡f^-1（x），由此即可求得b值；
（2）先求得函数f（x）的定义域，y=f（x）可变形为（x-1）（y-1）=1，由此可判断其图象是反比例函数型的双曲线，从而可画出图象，据图象可得其单调区间；
点评：本题考查函数图象的作法及反函数，考查学生的运算求解能力．