题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量 $数学公式$ ，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量 $数学公式$ ，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得 $数学公式$ 成立．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称，
∴当点 $\text{[math]}$ 在函数的图象上时，点 $\text{[math]}$ 也在函数的图象上，即 $\text{[math]}$ ，化简，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此关于x₀的方程对 $\text{[math]}$ 的实数均成立，即方程的根多于2个，
∴ $\text{[math]}$ ，解之，得b=-1．
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ ，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以 $\text{[math]}$ 都是非零向量．
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴y₁≠y₂，
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行，
即 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．
根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在的平面上任一向量 $\text{[math]}$ ，都存在唯一实数λ₁、λ₂，使得 $\text{[math]}$ 成立．
分析：（1）由已知中函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称，故点 $\text{[math]}$ 在函数的图象上时，点 $\text{[math]}$ 也在函数的图象，代入即可构造关于b的方程组，解方程组，即可得到答案．
（2）若要证明对于函数图象所在的平面早任一向量 $\text{[math]}$ ，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得 $\text{[math]}$ 成立，即证明向量 $\text{[math]}$ 不共线．
点评：本题考查的知识点是函数的图象的对称性质，平面向量的基本定理及其意义，其中（1）的关键是要根据已知条件构造关于b的方程组，（2）的关键是理解向量 $\text{[math]}$ ，为平面内的一组基底，两向量不共线．