题目内容

(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,已知

,,.

(I)设的中点,求证:;

(II)求二面角的余弦值.

 

【答案】

(I)证明为平行四边形,从而,利用线面平行的性质定理可证(II)

【解析】

试题分析:(I)连结,则四边形为正方形,

,且

为平行四边形,.

                ……6分

(II) 以D为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则

为平面的一个法向量,

,取,则.

为平面的一个法向量,

,则.

由于该二面角为锐角,

所以所求的二面角的余弦值为                           ……12分

考点:本小题主要考查线面平行的证明和二面角的求解,考查学生的空间想象能力和对问题的转化能力.

点评:证明线面平行时要紧扣定理,要将定理中要求的条件一一列出来,而二面角的求解时立体几何问题中的一个难点,所以可以转化为用空间向量解决.

 

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