题目内容
(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,已知
,
,
.
(I)设是
的中点,求证:
;
(II)求二面角的余弦值.
【答案】
(I)证明为平行四边形,从而
,利用线面平行的性质定理可证(II)
【解析】
试题分析:(I)连结,则四边形
为正方形,
,且
,
为平行四边形,
.
……6分
(II) 以D为原点,所在直线分别为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系,不妨设
,则
设为平面
的一个法向量,
由得
,取
,则
.
设为平面
的一个法向量,
由得
,
取,则
.
由于该二面角为锐角,
所以所求的二面角的余弦值为
……12分
考点:本小题主要考查线面平行的证明和二面角的求解,考查学生的空间想象能力和对问题的转化能力.
点评:证明线面平行时要紧扣定理,要将定理中要求的条件一一列出来,而二面角的求解时立体几何问题中的一个难点,所以可以转化为用空间向量解决.

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