题目内容
【题目】已知抛物线为抛物线的焦点,
是过焦点的动弦,
是
两点在准线上的投影,如图所示,则下列论断正确的个数有( )
①以为直径的圆与准线一定相切;
②以为直径的圆与直线
一定相切;
③以为直径的圆与
轴一定相切;
④以为直径的圆与
轴有可能相切
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
设,计算
,
得到①正确;证明
,
,计算
得到②;计算
,且
轴得到③正确;假设存在,联立方程方程有解得到④正确,得到答案.
设.
①如图1,分别是
的中点,所以
,
且,设以
为直径的圆的半径为
,因为
,
所以,所以以
为直径的圆与准线相切;
②如图2,,设以
为直径的圆的半径为
,
则,
,
即,故
,故
,
是
的中点,则
,由①知,
,又
,
所以,所以以
为直径的圆与直线
相切;
③如图3,设以为直径的圆的半径为
,
分别是
的中点,
则,且
轴,
所以以为直径的圆与
轴相切;
④假设存在以为直径的圆与
轴相切,则有
,即
,
又,联立得
,
或
,故假设成立,
因此①②③④都正确,
故选:D.

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