题目内容

【题目】已知抛物线为抛物线的焦点,是过焦点的动弦,两点在准线上的投影,如图所示,则下列论断正确的个数有(

①以为直径的圆与准线一定相切;

②以为直径的圆与直线一定相切;

③以为直径的圆与轴一定相切;

④以为直径的圆与轴有可能相切

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

,计算得到①正确;证明,计算得到②;计算,且轴得到③正确;假设存在,联立方程方程有解得到④正确,得到答案.

①如图1分别是的中点,所以

,设以为直径的圆的半径为,因为

所以,所以以为直径的圆与准线相切;

②如图2,设以为直径的圆的半径为

,故,故

的中点,则,由①知,,又

所以,所以以为直径的圆与直线相切;

③如图3,设以为直径的圆的半径为分别是的中点,

,且轴,

所以以为直径的圆与轴相切;

④假设存在以为直径的圆与轴相切,则有,即

,联立得

,故假设成立,

因此①②③④都正确,

故选:D

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