Question

3．设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证：-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）设f（x）与g（x）交点A，B在x轴上投影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=0，得出a，b，c的关系，再由a＞b＞c进行证明；
（2）已知函数f（x）与g（x）的图象的两个交点A、B，由方程ax²+（b-a）x+c-b=0得出两根，根据韦达定理，进行求解．

解答 （1）证明：∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
∴-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）解：由已知方程ax²+（b-a）x+c-b=0，两根为x₁，x₂，
x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$=2+$\frac{c}{a}$，x₁x₂=$\frac{c-b}{a}$=1+$\frac{2c}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（2+\frac{c}{a}）^{2}-4（1+\frac{2c}{a}）}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}-2）^{2}-4}$
∵-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴|x₁-x₂|∈（$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 此题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，第一问比较简单，第二问计算比较复杂，考查学生的计算能力，是一道中档题．