题目内容

已知函数f(x)=ln(1+ax),g(x)=x2-ax,其中a为实数.
(Ⅰ)当a=2时,求函数y=f(x)+g(x)的极小值;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得函数y=f(x)与函数y=g(x)在区间[1,+∞)上单调性相同?若存在,请求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若对任意的实数a∈(1,2),总存在一个与a无关的实数x1,且x1∈[
1
2
,1]
,使得f(x1)+g(x1)>m-
1
5
a2
恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(I)将a=2代入到解析式中,并求导.令f′(x)=0,求出极值点,并根据单调性判断极小值.
(II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数a,使得函数y=f(x)与函数y=g(x)在区间[1,+∞)上单调性相同,再利用导数研究它们的单调性,求出实数a的取值范围,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
(III)记h(x)=f(x)+g(x),要对任意的实数a∈(1,2),总存在一个与a无关的实数x1,且x1∈[
1
2
,1]
,使得f(x1)+g(x1)>m-
1
5
a2
恒成立,则h(x)max>m-
1
5
a2
,求出函数的最大值,建立不等式,即可确定实数m的取值范围.
解答:解:
(Ⅰ)当a=2时,(f(x)+g(x))=
2
1+2x
+2x-2=
2x(2x-1)
1+2x
(x>-
1
2
)
…(1分)
x∈(
1
2
,+∞)
时,(f(x)+g(x))'>0,函数f(x)+g(x)递增;
x∈(0,
1
2
)
时,(f(x)+g(x))'<0,函数f(x)+g(x)递减;
x∈(-
1
2
,0)
时,(f(x)+g(x))'>0,函数f(x)+g(x)递增;…(2分)
所以当x=
1
2
时,函数f(x)+g(x)取极小值-
3
4
+ln2
;…(3分)
(Ⅱ)由已知得1+ax>0,又因为f′(x)=
a
1+ax
,g′(x)=2x-a
,…(4分)
由题意得f'(x)•g'(x)≥0且a≠0在[1,+∞)上恒成立,
a
1+ax
•(2x-a)≥0且a≠0
在[1,+∞)上恒成立,
1+ax>0
a>0
2x-a≥0
1+ax>0
a<0
2x-a≤0
在[1,+∞)上恒成立,…(5分)
所以实数a的取值范围为(0,2].…(6分)
(Ⅲ)记h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=ln(1+ax)+x2-ax,
h′(x)=
a
1+ax
+2x-a=
2ax2+(2-a2)x
1+ax
=
x[2ax-(a2-2)]
1+ax

1<a<2∴
a2-2
2a
-
1
2
=
(a-2)(a+1)
2a
<0,即
a2-2
2a
1
2

所以h(x)在[
1
2
,1]
上单调递增,∴h(x)max=h(1)=ln(1+a)+1-a,…(8分)
所以只须ln(1+a)+1-a>m-
1
5
a2
对任意的a∈(1,2)恒成立,
m<ln(1+a)+1-a+
1
5
a2
对任意的a∈(1,2)恒成立;
记函数H(a)=ln(1+a)+1-a+
1
5
a2(1<a<2)

H′(a)=
1
1+a
-1+
2
5
a=
2a2-3a
5(1+a)

得H(a)在(1,
3
2
]
上单调递减,在(
3
2
,2)
单调递增,∴H(a)min=H(
3
2
)=ln
5
2
-
1
20

所以实数m的取值范围为(-∞,ln
5
2
-
1
20
)
.…(10分)
点评:在高中阶段,导数是研究函数性质的重要而有效的工具之一,包括函数的单调性,极值,最值等,本题就是利用导函数研究函数的极值.近两年的高考题中,对导数部分的考查是越来越常见,其重要性也不言而喻.
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