Question

已知函数f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a²b的最小值是________．

Answer 1

-16
分析：由题意可得 a²-6=6-b²，即 a²+b²=12，-2＜b＜0，故g（b）=a²b=（12-b²） b=12b-b³．利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值．
解答：∵函数f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a²-6=6-b²，即 a²+b²=12．
∴-2＜b＜0，∴a²b=（12-b²） b=12b-b³．
设g（b）=12b-b³，则 g'（b）=12-3b²，令 g'（b）=0，解得b=-2，
所以，g（b）在（-2√3，-2）上单调递减，g（b）在[-2，0）上单调增，
故g（b）最小值是g（-2）=-24+8=-16，
故答案为-16．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，属于基础题．