题目内容

下列4个命题:
p1:?x∈(0,+∞),(
1
2
)x>log
1
3
x
;        p2:?x∈(0,1),log
1
2
x>log
1
3
x

p3:?x∈(0,+∞),(
1
2
)x>log
1
2
x
;     p4:?x∈(0,
1
3
),(
1
2
)x>log
1
3
x

其中的真命题是
.(填上正确命题的序号)①p1,p3②p1,p4③p2,p3④p2,p4
分析:令函数y=(
1
2
)
x
与y=log
1
3
x
图象的交点为(x0,y0),易得当x∈(0,x0)时,(
1
2
)
x
<log
1
3
x
,可得p1的真假;同理可判断p3的真假;令x=
1
2
,可以判断命题p2的真假;令x∈(0,
1
3
)
,可判断p4的真假,进而得到答案.
解答:解:p1中,当x∈(0,+∞)时,函数y=(
1
2
)
x
与y=log
1
3
x
,有一个交点(x0,y0
当x∈(0,x0)时,(
1
2
)
x
<log
1
3
x
,故p1错误;
x=
1
2
,则log
1
2
x=1
log
1
3
x=log32<1,p2
正确
p1中,当x∈(0,+∞)时,函数y=(
1
2
)
x
与y=log
1
2
x
,有一个交点(x0,y0
当x∈(0,x0)时,(
1
2
)
x
<log
1
2
x
,故p3错误;
x∈(0,
1
3
)
时,(
1
2
)x<1
,而log
1
3
x>1
.p4正确
故答案为:④
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答本题的关键.
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