已知f(x)=2+x2 cos(π2+x)在[-a.a]上的最大值与最小值分别为M.m.则M+m的值为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知f(x)=2+x2 cos(

+x)在[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为

．

分析：构造函数h（x）；利用奇函数的定义判断出h（x）为奇函数；据奇函数关于原点对称，其最大值、最小值相反，
求出M+m的值．

解答：解：f(x)=2+x2 cos(

+x)=2-x²sinx
令h（x）=x²sinx
2-M≤h（x）≤2-m
∵h（-x）=-h（x）
∴h（x）为奇函数
∴2-M+2-m=0
∴M+m=4
故答案为4

点评：本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查奇函数的最值相反．

练习册系列答案

相关题目

（2013•盐城一模）已知f(x)=(2+

)n，其中n∈N^*．
（1）若展开式中含x³项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成

s-1

（s∈N^*）的形式．

（1）已知f(

+1)=x+2，求函数f（x）的解析式；
（2）若二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

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