Question

已知抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-1．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线交于A，B两点，记直线AF，BF的斜率之和为m．求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将y=ax²，化为标准方程为x2=

1

a

y，利用抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程，即可求得抛物线C的方程；（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0．利用韦达定理及直线AF，BF的斜率之和为m，可得直线l：y=kx+

k

m-k

，进而令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直线l过定点．

解答：解：（Ⅰ）将y=ax²，化为标准方程为x2=

1

a

y．
∴抛物线C的准线方程为：y=-

1

4a

．  
∵抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-1                      …（3分）
∴-

1

4a

=-1，解得a=

1

4

．
∴抛物线C的方程是x²=4y．                                    …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
由

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．                  …（8分）
kAF+kBF=

x 2 1 4 -1

x1

+

x 2 2 4 -1

x2

=

x 2 1 x2-4x2+x22x1-4x1

4x1x2

=

(x1+x2)(x1x2-4)

4x1x2

=

4k(-4b-4)

4(-4b)

=

k(b+1)

b

=m．                               …（10分）
∴b=

k

m-k

．∴直线l：y=kx+

k

m-k

．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立．             …（12分）
则

x=0 mx+y+1=0 my=0

，解得

x=0 y=-1 m=0

．
所以，m=0，直线l过定点（0，-1）．                           …（15分）

点评：本题考查抛物线的标准方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，解题的关键是求出直线方程，利用方程对任意的k（k≠0）恒成立，建立方程组．