题目内容
已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．分析：设而不求，可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组
有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．
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解答：解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组
有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-（1+b）=0．①
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x0=
=
，y0=x0+b=
+b．
∵M∈l，∴0=x0+y0=
+
+b，
即b=-
，代入②解得a＞
．
故实数a的取值范围（
，+∞）
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组
|
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2a |
∵M∈l，∴0=x0+y0=
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2a |
即b=-
| 1 |
| a |
| 3 |
| 4 |
故实数a的取值范围（
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量．
练习册系列答案
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已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-bx交于A、B两点，其中a＞b＞c，a+b+c=0，设线段AB在x轴上的射影为A1B1，则|A1B1|的取值范围是（ ）
A、(
| ||||
B、(
| ||||
C、(0，
| ||||
D、(2， 2
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