题目内容
函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）在[-4，4]上的单调性是（ ）
分析：依题意，f（x）为奇函数，从而可得a=1，b=0，利用f（x）=x3-48x的导函数判断即可．
解答：解：∵f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，
∴y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=b=0，
f（-1）+f（1）=0，即-a+（a-1）-48（a-2）+a+（a-1）+48（a-2）=0
∴a=1，
∴f（x）=x3-48x，
∴f′（x）=3x2-48=3（x2-16），
当x∈[-4，4]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-4，4]上是单调减函数．
故选B．
∴y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=b=0，
f（-1）+f（1）=0，即-a+（a-1）-48（a-2）+a+（a-1）+48（a-2）=0
∴a=1，
∴f（x）=x3-48x，
∴f′（x）=3x2-48=3（x2-16），
当x∈[-4，4]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-4，4]上是单调减函数．
故选B．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求得a=1，b=0是关键，属于中档题．
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