题目内容
（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）
定义变换
：
可把平面直角坐标系上的点
变换到这一平面上的点
.特别地，若曲线
上一点
经变换公式变换后得到的点
与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.
（1）若椭圆
的中心为坐标原点，焦点在
轴上，且焦距为
，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当
时，其两个焦点
、
经变换公式变换后得到的点
和
的坐标；
（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
：（
，
）下的不动点的存在情况和个数.
（1）
（2）
（3）两个
解析:
（1）设椭圆
的标准方程为
（
），由椭圆定义知焦距
，即
…①.
又由条件得
…②，故由①、②可解得
，
.
即椭圆的标准方程为
.
且椭圆两个焦点的坐标分别为
和
.
对于变换
：
，当
时，可得
设
和
分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，
，即
的坐标为
；
又
即
的坐标为.
（2）设
是椭圆在变换下的不动点，则当时，[来源:Z§xx§k.Com]
有
，由点
，即
，得：
，
因而椭圆的不动点共有两个，分别为
和
.
(3) 设是双曲线在变换下的不动点，则由
因为
，
，故
.
不妨设双曲线方程为
（
），由
代入得
则有
,
因为，故当
时，方程
无解；
当
时，要使不动点存在，则需
，
因为，故当
时，双曲线在变换下一定有2个不动点，否则不存在不动点.
进一步分类可知：
（i）当
，
时，即双曲线的焦点在
轴上时，
；
此时双曲线在变换下一定有2个不动点；
（ii）当
，
时，即双曲线的焦点在
轴上时，
.[来源:学科网]
此时双曲线在变换下一定有2个不动点.
练习册系列答案
相关题目
：
可把平面直角坐标系上的一点
变换到这一平面上的一点
.
的中心为坐标原点，焦点在
轴上，且焦距为
，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆
、
经变换公式
和
的坐标；
上一点
经变换公式
与点
（
且
为常数），
为其焦点．
两点，且
，求直线
的斜率；
是过抛物线焦点
，如图所示．求四边形
面积的最小值
．
到其准线的距离等于5．
交于A、C、D、B四点,试证明
为定值;
且
与
面积之和的最小值．
开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是
，(如图所示，
坐标以已知条件为准)，
表示青蛙从点
到点
所经过的路程。
准线上
，
均在该抛物线上，并且直线
.
要么落在
所表示的曲线上，
所表示的曲线上，并且
,
（不需证明）；
所表示的曲线上，要么落在
所表示的曲线上，并且
，求
：
可把平面直角坐标系上的一点
变换到这一平面上的一点
.
的中心为坐标原点，焦点在
轴上，且焦距为
，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆
、
经变换公式
和
的坐标；
上一点
经变换公式
与点