题目内容

已知平面向量
a
=(sin(π-x))，
b
=(
3
，cosx)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g(x)=f(x-
π
6
)+1，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．
分析：（1）求函数f（x）的单调递减区间要先确定函数f（x）的解析式，根据解析式再求单调区间．
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，不难给出函数g（x）的解析式，而两个函数图象的交点，即是求由两个解析式联立的方程组．
解答：解：（1）函数f(x)=
a
•
b
=
3
sin(π-x)+cosX=2sin(x+
π
6
)
∴函数的单调递减区间为[2kπ+
π
3
，2kπ+
4π
3
]  (k∈Z)
（2）g（x）=f（x-
π
6
）+1=2sinx+1
解g（x）=2，即sinx=
1
2
，x∈[0，π]得：
x=
π
6
或x=
5π
6

所以交点坐标为：(
π
6
，2)，(
5π
6
，2)
点评：本题主要的考查点是正弦函数的单调性，解题的切入点是根据平面向量的数量积运算给出函数f（x）的解析式，而（2）中求函数图象交点的坐标，则可转化为解方程的问题进行求解．
练习册系列答案
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已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）证明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．
（2012•上海）定义向量
OM
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）证明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．
定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。
定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x的取值范围．

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