Question

【题目】已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．

(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)判断函数f(x)的单调性．

Answer 1

【答案】（1）y＝－1.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为f′(1)，再根据点斜式求切线方程（2）先求导数，再根据导函数零点情况讨论，结合导函数符号确定函数单调性

试题解析：(1)∵a＝e，

∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.

∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.

(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.

易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．

∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，

∴当0<x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．

综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．